[06-2026] Генерация битовой последовательности в квантовых коммуникациях

[Admin]

Генерация битовой последовательности в квантовых коммуникациях

ТЕРЕХИН Александр Олегович, Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, кафедра «Комплексная информационная безопасность электронно-вычислительных систем», старший преподаватель, г. Томск, Россия
ФАЕРМАН Владимир Андреевич,
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, кафедра «Комплексная информационная безопасность электронно-вычислительных систем», старший преподаватель, г. Томск, Россия
ГЕКК Диана Сергеевна,
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, кафедра «Безопасность информационных систем», студент, г. Томск, Россия
ЛУКАШОВ Артём Аркадьевич,
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, кафедра «Безопасность информационных систем», студент, г. Томск, Россия

Ключевые слова: квантовые коммуникаиии, генерациябитовыхпоследовательностей, стохастическая модель, математическое моделирование
Аннотация. В статье рассматривается подход к формальному представлению функционирования системы квантовыхкоммуникаций посредством математической модели процесса генерации битовойпоследовательности.Основноевниманиеуделено снижению вычислительной сложности модели и обеспечению воспроизводимости результатов. Такой подход исключает необходимость детального моделирования физики квантового канала, включая процессы поляризационного кодирования, детектирования фотонов и коррекции ошибок. В качестве ключевых параметров, определяющих поведение системы, исследуется скорость генерации битовой последовательности.

■ Системы квантовых коммуникаций 一 один из наиболее перспективных методов обеспечения информационной безопасности. Данная технология создает физически обоснованную защиту информационного обмена за счет передачи квантовых состояний фотонов, используемых для генерации и согласования битовых последовательностей между узлами связи [1]. При корректной работе оптоэлектронной части системы (источников света, детекторов и управляющей электроники), отсутствии скрытых уязвимостей, квантовые коммуникации обеспечивают теоретически абсолютную защиту при передаче битовых последовательностей [2].
Практическая реализация квантовых коммуникаций включает в себя множество физических процессов: формирование одиночных фотонов, их модуляцию в соответствии с выбранным протоколом, передачу по оптическому каналу, детектирование, последующую фильтрацию битовой последовательности и коррекцию ошибок [3]. Несмотря на стремитель
ное развитие технологий квантовых коммуникаций, детальное моделирование этих процессов остается сложным и ресурсоемким.
Важный фактор развития квантовых коммуникаций 一 их интеграция в инфраструктуру критически важных объектов. Примером служит реализация пилотных и опытно-промышленных проектов на объектах железнодорожного транспорта страны. ОАО «РЖД» участвует в развитии квантовых коммуникаций, внедряя решения на участках магистральной оптической сети в рамках программы повышения устойчивости и защищенности технологических систем связи [4]. Создана магистральная квантовая сеть протяженностью более 7,8 тыс. км, объединяющая крупные города Российской Федерации. Кроме того, разработаны опытные образцы квантового оборудования, предусмотрена их совместимость с существующими телекоммуникационными сетями и сформирована база для дальнейшего расширения квантовых сервисов.

Расширение инфраструктуры квантовых сетей и рост числа их пользователей вызывают необходимость моделирования систем квантовых коммуникаций для оценки их характеристик и проектирования с учетом реальных технических и эксплуатационных ограничений объектов критической инфраструктуры. В то же время увеличение масштаба и протяженности подобных сетей тормозится необходимостью проведения регулярных экспериментов на оборудовании и детального анализа эксплуатационных характеристик. Для исследования влияния длины канала, параметров оборудования и режимов эксплуатации на производительность систем квантовых коммуникаций представляется целесообразным проведение математического и имитационного моделирований.
При этом встает вопрос валидации таких моделей. Для оценки ее адекватности результаты моделирования необходимо сравнивать с поведением реальной системы, однако полная вариация всех параметров в эксперименте зачастую невозможна из-за высокой сложности и стоимости проведения таких исследований.

В связи с этим встает задача построения абстрактной модели, позволяющей описать функционирование системы квантовых коммуникаций без детализированного представления физических процессов, но при этом сохраняющей ключевые выходные характеристики, определяющие ее производительность. Одним из таких параметров является скорость генерации битовой последовательности, которая представляет стохастический процесс, зависящий от протяженности оптического канала, уровня потерь, а также параметров применяемых источников и детекторов [5].
Предложен подход к математическому моделированию процесса генерации битовых последовательностей в системах квантовых коммуникаций, основанный на статистическом анализе экспериментальных данных. В качестве исходных данных использованы результаты реальных измерений скорости генерации битовой последовательности для оптических линий различной протяженности.
 

• 1ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
• 2МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГЕНЕРАЦИИ БИТОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
• 3РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В СРЕДЕ SIMULINK
• 4АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯВ MATLAB
• 5СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ

■ Экспериментальные данные для построения математической модели были получены с использованием аппаратного комплекса ViPNet Quantum Trusted System Lite (ViPNet QTS Lite), разработанного компанией «ИнфоТеКС». Квантовая коммуникационная подсеть включала один модуль ViPNet РУКС Лайт, выполнявший функции распределительного узла, а также три клиентских модуля ViPNet КУКС Лайт, функционирующих какудаленныеузлы [6].
Скорость генерации битовой последовательно-стианализироваласьприразной длине оптического канала: 5,7и13км.Для каждого варианта было выполнено более 10ОО независимых запусков процесса генерации битовой последовательности. В рамках экспериментов фиксировалисьдлина сформированной битовой последовательности после процедур согласования, общее число попыток генерации и затраченное время. На основе этих данных определялась скорость генерации битов, что позволило сформировать статистически достоверные выборки скорости генерации битовой последовательности.
Для каждой выборки построены гистограммы распределения скорости генерации битовой последовательности. Они вычислялись как отношение длины битовой последовательности после процедуры очистки ко времени генерации. Эти гистограммы дают возможность визуально оценить форму распределения, диапазон значений и степень вариативности метрики.
Гистограммы распределения скорости генерации битовой последовательности для оптических линий протяженностью 5, 7 и 13 км представлены на рис. 1, а, б, в соответственно. Высота столбцов показывает, сколько битовых последовательностей было сгенерировано со скоростью, попадающей в диапазон, указанный на оси абсцисс под этим столбцом.
Полученные результаты демонстрируют зависимость скорости генерации битовой последовательности от расстояния: с увеличением протяженности канала наблюдается снижение ее среднего значения, обусловленное возрастающими потерями в канале и уменьшением вероятности регистрации фотонов. Также для более протяженных линий характерен больший разброс значений скорости относительно среднего значения, что указывает на возрастающее влияние случайных факторов (шумов и др.) на процесс генерации.

Для всех трех расстояний распределения скоростей генерации характеризуются наличием выраженной моды, что говорит о существовании наиболее вероятного значения данной величины при фиксированной длине канала. При этом форма распределений является асимметричной, а характер асимметрии изменяется с увеличением расстояния. Для коротких линий (5-7 км) наблюдения сосредоточены преимущественно в области высоких значений скорости, что отражает высокую эффективность генерации битовой последовательности. Для линии длиной 13 км распределение смещается в сторону меньших значений, что связано с увеличением потерь сигнала и ростом числа ошибок при передаче.
Таким образом, экспериментальные выборки характеризуются ограниченным диапазоном, наличием выраженной моды и вариативной формой распределения, что предъявляет определенные требования к выбору адекватной вероятностной модели.
На основании анализа экспериментальных распределений в качестве вероятностной модели скорости генерации битовой последовательности было выбрано бета-распределение [7].
Формы плотности вероятности бета-распределений B(a, р) при различных значениях параметров представлены на рис. 2.
Функция плотности вероятности бета-распределения имеет вид [7]:

Данная модель работает на ограниченном интервале значений, обладает гибкой формой, которая может описывать асимметричные распределения с выраженной модой и рассчитывать параметры распределения по выборочным оценкам математического ожидания и дисперсии экспериментальных данных. Ключевое преимущество бета-распределения в данном контексте заключается в наличии двух варьируемых параметров формы (а и р). Это позволяет точно настраивать и сопоставлять форму теоретической плотности вероятности с разнообразными эмпирическим гистограммами, представленными в ходе анализа экспериментальных данных. Такие свойства делают бета-распределение адекватным инструментом для статистического описания стохастического процесса генерации битовой последовательности в системах, аналогичных принятому в эксперименте комплексу ViPNet QTS Lite.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГЕНЕРАЦИИ БИТОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

■ В рассматриваемом моделировании скорость генерации битовой последовательности задается как стохастическая величина, параметры распределения которой зависят от длины оптического канала. Данный подход основан на дискретно-событийном моделировании, не требующем детальной имитации сложных физических процессов в квантовом канале. Ставится задача статистически правдоподобно воспроизвести распределение времени, затрачиваемого на получение идентичных секретных последовательностей у двух легитимных пользователей. Такие условия помогают сосредоточиться на воспроизведении ключевых характеристик производительности системы.
Для моделирования скорости генерации используется вероятностная модель с параметрами, определяемыми на основе экспериментальных данных для различных значений длины канала. Параметры распределенияподбираются отдельно для каждого расстояния между узлами методом регрессии с экстраполяцией, что учитывает изменения статистических свойств процесса генерации битовой последовательностиприувеличении протяженности оптоволоконной линии.
Для статистическогомоделирования скорость генерации битовой последовательности была приведена к нормализованному виду.Нормализация выполнялась относительно максимального зарегистрированного значения скорости каждой экспериментальной выборки. Для перехода от нормализованной величины к реальной скорости генерации в модели введен коэффициент масштабирования (k), отражающий зависимость максимальной достигаемой скорости от длины оптического канала. Это позволяет учитывать как стохастический характер процесса генерации, так и систематическое снижение скорости при увеличении протяженности оптоволоконной линии.

После выполнения нормализации и введения коэффициента масштабирования была произведена оценка параметров вероятностной модели по экспериментальным данным. Параметры формы бета-распределения а и р были оценены на основе выборочного среднего метода моментов и дисперсии экспериментальных данных [7]. Для каждого расстояния определен коэффициент масштабирования k. Значения параметров бета-распределения и коэффициента масштабирования представлены в таблице.
На основе полученного расчета выполнялась аппроксимация экспериментальных данных для построения непрерывных функций зависимости параметров распределения от расстояния между узлами (x) квантовой сети. Такая аппроксимация позволяет вычислять значения а(х), р(х) и k(x) для произвольных длин оптических каналов, что дает возможность проведения имитационного моделирования процессов генерации битовой последовательности.
Сложность данной задачи заключается в ограниченности исходной выборки: экспериментально были доступны три опорные точки, тогда как модель предполагается применять для оценки характеристик системы за пределами исследованного интервала расстояний, в том числе при длинах оптического канала до 30 км и более.
Для решения данной проблемы сформулирована задача регрессии. Она выполняется путем подбора аппроксимирующей функции из заранее заданного класса, обеспечивающей наилучшее согласование с известными экспериментальными точками и одновременно демонстрирующей устойчивое и физически корректное поведение за пределами эмпирически исследованного диапазона расстояний. В качестве аппроксимирующих зависимостей рассматривались полиномиальные функции второй и третьей степени, а также нелинейные функции экспоненциально-рационального вида, что позволило достичь компромисса между точностью аппроксимации и адекватностью модели при экстраполяции.
Нелинейные функции экспоненциально-рационального вида:
f(x) = a - ebx + c/x, (3)
где a,b и c - подбираемые коэффициенты.
Оценка качества аппроксимации выполняется на основе степени согласования с экспериментальными данными в опорных точках, а также качественного анализа поведения функций за пределами исследованного интервала расстояний. Особое внимание уделено физической корректности зависимостей параметров распределения, так как параметры бета-распределения и коэффициент масштабирования не могут принимать отрицательные значения и не должны демонстрировать неограниченный рост в практически значимом диапазоне длин оптического канала.

В процессе отбора аппроксимирующих зависимостей проанализировано поведение функций на расширенном интервале расстояний, превышающем эмпирически исследованный диапазон. Функции, обеспечивающие минимальную ошибку аппроксимации в исходных точках, но приводящие к неустойчивому или физически нереалистичному поведению параметров при экстраполяции, исключалисьиздальнейшего рассмотрения. Это позволило отобратьзависимости, кото-рыеобеспечивали устойчивоеизменение параметров модели ипригоднывимитационном моделировании процессовгенерациибитовойпоследовательности при различныхдлинахоптического канала.
По результатам экспериментов сформирована математическаямодель. Она описывает изменение статистических характеристик процесса генерации битовой последовательности в зависимости от длины квантового канала. Результаты аппроксимации в виде графиков зависимости параметров от расстояния между узлами квантовой сети представлены на рис. 3 для: а) параметра а бета-распределения; б) параметра р бета-распределения; в) коэффициента масштабирования k.
Полученная модель служит основой для дальнейшего анализа производительности квантовых сетей.

РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В СРЕДЕ SIMULINK

■ Для дальнейшего анализа производительности квантовых коммуникаций разработана имитационная модель системы массового обслуживания (СМО). В этой модели клиенты квантовой сети выступают в роли источников заявок на генерацию общей битовой последовательности, а квантовые коммуникации в роли обслуживающего узла. Математическая модель, основанная на бета-распределении, использовалась для расчета времени формирования общей секретной последовательности, которое напрямую связано со скоростью генерации битов.

Для проверки применимости разработанной математической модели была выполнена ее программная реализация в среде Simulink. Реализация включала вычисление параметров аппроксимирующих зависимостей а(х), р(х) и k(x), а также стохастическую генерацию значений скорости генерации битовой последовательности в соответствии с построенной моделью бета-распределения.
Численные эксперименты проводились для двух длин оптического канала: 10 и 20 км. Для каждой длины были сгенерированы выборки значений скоростей на основе построенной вероятностной модели. Эти выборки использовались для анализа статистических свойств стохастического процесса, а также для проверки корректности формы распределения при промежуточных расстояниях. На основе сгенерированных данных построены гистограммы распределения скорости генерации, позволяющие визуально оценить форму эмпирической плотности распределения и ее соответствие заданной вероятностной модели.
Гистограммыраспределения скорости генерации битовой последовательности для длин оптического канала 10 и 20 KM представленынарис.4,а, б соответственно.

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯВ MATLAB

Результаты моделированиявыявилиограничения, связанные с недостаточным объемом исходных экспериментальных данных.
Параметры модели были аппроксимированы на основе трех значений расстояний (5, 7 и 13 км), которые находятся в центральной части целевого интервала моделирования (3-20 км).
Анализ гистограмм, построенных по результатам имитации для расстояний 10 и 20 км, подтверждает выявленную ранее общую тенденцию снижения средней скорости генерации битовой последовательности с увеличением длины канала. Однако верификация модели путем сопоставления с экспериментальными данными для 13 км выявила расхождение, где реальное распределение демонстрирует более сложную форму, чем полученное в модели. Так, на эмпирической гистограмме наблюдается бимодальность (наличие двух локальных максимумов), что указывает на существование двух статистически значимых режимов работы системы. Физическая интерпретация данной бимодальности может заключаться в разделении сессий генерации битовой последовательности на два типа: успешные сессии, завершившиеся формированием последовательности в рамках первой попытки, и сессии, требующие повторной попытки из-за недостаточной длины согласованной последовательности или иных ошибок на этапе квантовой передачи. В текущей модели фактор дискретного распределения числа попыток, необходимых для успешной генерации, не был учтен, что объясняет наблюдаемое расхождение.

Таким образом, разработанная математическая модель является работоспособной, но требует дальнейших уточнений. Для повышения ее адекватности необходимо: расширить набор экспериментальных данных, включив в него измерения для каналов средней и большой протяженности; повторить процедуру аппроксимации параметрических зависимостей на основе расширенной выборки; исследовать возможность применения более сложных статистических распределений, включая полиномиальные модели, в которых учитывалась бы стохастическая природа числа попыток, требуемых для успешной генерации битовой последовательности.
Реализация этих направлений позволит повысить точность модели и обеспечитьееприменимость для имитационного моделирования квантовых коммуникаций.
Работа выполненаприфинансовой поддержке Ми-стетерства науки и высшего образования Российской Федерацииврамках бозо(аот части государственного задания ТУСУРа на 2026-2028 гг. (проект FEWM-2026-0009).

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Bennett C., Brassard G. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing // Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing. 1984. Vol. 175. P. 8.
2. Жиляев А.Е. Концепция построения сетей квантового распределения ключей с доверенными промежуточными узлами // Квантовая криптография информационной безопасности : сайт. 2023. 27 июня. URL: https://quantum-crypto.ru/articles/kontseptsiya-postroeniya-setey-kvantovogo-raspredeleniya-klyuchey-s-doverennymi-promezhutochnymi/ (дата обращения: 07.12.2025).
3. Горбатов В.А., Михайлов С.В. Системы связи и управления беспилотных летательных аппаратов. Москва: Радиотехника, 2021. 214 с.
4. РЖД и «Ростелеком» будут сотрудничать в развитии квантовых коммуникаций / [Электронный ресурс] // ПАО «Ростелеком»: [сайт]. 一 URL: https://www.company.rt.ru/press/ news/d459500/
5. Secure quantum key distribution with realistic devices / Xu F., Ma X., Zhang Q., Lo H. K., Pan J. W. // Reviews of Modern Physics. 2020. Vol. 92, No. 2. P. 025002. DOI: https://doi. org/10.1103/RevModPhys.92.025002.
6. ViPNet QTS Lite (Quantum Trusted System Lite) [Электронный ресурс]: техническая документация / ИнфоТеКС. URL: https://infotecs.ru/downloads/documents/vipnet-qts-lite/
7. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.
8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы : учебное пособие. М.: Наука, 1989. 432 с.